Morfología Matemática

 
 

 

 
          

La morfología matemática de conjuntos es un marco de trabajo basado exclusivamente en la teoría de conjuntos y, desde su origen, se ha utilizado con enorme éxito en el procesamiento digital de imágenes binarias (cuando las técnicas convencionales no funcionan). Sin embargo, su utilidad no termina en el procesamiento de imágenes o de señales, y dado que su única premisa de trabajo es la de utilizar conjuntos y sus propiedades, es de utilidad para cualquier clase de problema que se modele por medio de conjuntos y donde la forma sea la característica más relevante.

Las bases teóricas de la morfología matemática se deben al científico alemán nacido en Rusia, Hermann Minkowski (1864-1909). Entre los muchos y variados logros a lo largo de su fructífera vida profesional, a este preclaro genio se deben ideas revolucionarias sobre el espacio y el tiempo (el continuo tetradimensional espacio-tiempo), y el desarrollo de los fundamentos matemáticos de la teoría de la relatividad; investigó las formas cuadráticas, las fracciones continuas y también trabajó en el tema de las figuras convexas y las relaciones entre sus formas, siendo precisamente en este campo donde creó las bases matemáticas fundamentales para la morfología matemática.

Minkowski fue el primer ser humano al que se le ocurrió sumar formas. Esto sucedió a principios del siglo XX, y la suma de Minkowski apareció definida por primera vez en [1], en el año de 1903, de la siguiente manera: siendo A y B dos conjuntos cualesquiera, sobre cuyos elementos esté bien definida la operación binaria suma (+), el conjunto de la suma de las dos formas A y B, contiene todos los elementos que resultan de sumar cada uno de los elementos del conjunto A con todos y cada uno de los elementos del conjunto B.

A+B={x=a+b, con a elemento de A y b elemento de B}

No obstante, la resta de Minkowski no se debe a él, sino a un investigador alemán llamado Hadwiger, quien la propuso medio siglo después. La resta de Minkowski se define como la operación dual de la suma de Minkowski, y apareció por primera vez, en el año de 1957, en [2]:

A-B={el conjunto de todas las x tales que x+b es elemento de A, para todo elemento de B}

Basado en las ideas fundamentales de Minkowski y en los trabajos de Hadwiger, el francés George Matheron inició la morfología matemática a mediados de los 60 con sus trabajos de investigación en análisis de imágenes en el ámbito de los medios porosos [3]. Posteriormente publicó, en 1975, resultados teóricos importantes en [4]. En 1982, su alumno Jean Serra dio un impulso más a la morfología matemática con la publicación de su libro [5], y los avances [6] en 1988. Sus aplicaciones a la petrografía y a la microscopía cuantitativa son ya casi una leyenda por su enorme importancia en la ciencia y la tecnología.

Matheron y Serra bautizaron a las operaciones duales de Minkowski con los nombres actuales de las dos operaciones básicas de la morfología matemática: dilatación y erosión.

A partir de aquí, se han sumado otros investigadores a nivel mundial, entre los que han destacado: Haralick, Sternberg, Heijmans, Tuzikov, Maragos, Schafer y Pitas. En México se realiza investigación de alto nivel en el área de morfología matemática, y existen equipos de investigación que se encuentran trabajando en la frontera del estado del arte en el área. Vale la pena mencionar los trabajos de Iván Terol en watersheds, y de José Luis Marroquín, quien desarrolla aplicaciones de la morfología matemática en problemas urbanos y geográficos y análisis de formas tridimensionales; en Florida, el equipo de G. X. Ritter ha trabajado en el desarrollo las redes neuronales morfológicas, al igual que otros grupos afines en Brasil y en México.

Dos investigadores del Centro de Investigación en Computación del Instituto Politécnico Nacional son los autores del primer libro de Morfología Matemática en español [7].

En términos simples, la morfología matemática procesa formas (que pueden ser imágenes digitales o producidas en un laboratorio científico o tecnológico), con ayuda de formas especiales escogidas previamente, las cuales son generalmente pequeñas y se les ha llamado elementos estructurantes. Es decir, una forma dada se dilata o se erosiona tomando como base un elemento estructurante escogido previamente. Los elementos estructurantes más conocidos y usados actualmente son dos: la vecindad von Neumann y la vecindad Moore.

Se recomienda al amable lector que continúe en cualquiera de las siguientes secciones: Memorias Asociativas: Alfa-Beta y Morfológicas o Redes Neuronales: Alfa-Beta y Morfológicas.

Referencias
 [1]  Minkowski, H. (1903). volumen and Oberfläche. Math. Ann. Vol. 57,    447-495.
 [2]  H. Hadwiger. (1957). Vorslesunger über Inhalt, Oberfläche und Isoperimetrie.
      Berlin: Springer.
 [3]  G. Matheron. (1965). Elements Pour une Tiorre des Mulieux Poreux. Paris: Masson.
 [4]  G. Matheron. (1975). Random Sets and Integral Geometry, Wiley, New York.
 [5]  J. Serra. (1982). Image analysis and Mathematical Morphology, Vol 1, Academic
      Press, San Diego.
 [6]  J. Serra. (1988). Image Analysis and Mathematical Morphology, Vol 2, Academic
      Press, San Diego.
 [7]  Díaz-de-León Santiago, J.L. & Yáñez Márquez, C. (2003). "Introducción a la morfología
      matemática de conjuntos", Colección de Ciencia de la Computación, CIC-IPN-UNAM-FCE,
      México. ISBN: 970-36-0075-1. J.
          
 

 

 

[INICIO] [INVESTIGACIÓN] [TRABAJOS] [CONTACTO] [VÍNCULOS] [MAPA DE SITIO]

 

webmaster@aldape.org.mx